Page 3 - Vector Analysis
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2.5.3 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.4 The Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 The Inverse Function Theorem（反函數定理） . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7 The Implicit Function Theorem（隱函數定理） . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.8 Directional Derivatives and Gradient Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Multiple Integrals 68
3.1 Integrable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Properties of the Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Integrability for Almost Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4 The Fubini theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5 The Change of Variables Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 Vector Calculus 96
4.1 The Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.1 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.2 The line element and line integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2 Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 The Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.1 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.2 The metric tensor and the first fundamental form . . . . . . . . . . . 114
4.3.3 The surface element and the surface integral . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4 Oriented Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 Manifolds, Charts, Atlas and Differentiable Structure . . . . . . . . . . . . . 129
4.5.1 Some useful identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.6 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.1 Flux integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.2 Measurements of the flux - the divergence operator . . . . . . . . . . 133
4.6.3 The divergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.6.4 The divergence theorem on surfaces with boundary . . . . . . . . . . 138
4.7 The Stokes Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.7.1 Measurements of the circulation - the curl operator . . . . . . . . . . 142
4.7.2 The Stokes theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.8 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
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