實變函數論包括測度論與積分理論兩大部分，它一直是分析領域的主要內容之一。其理論基礎源自二十世紀初期 Lebesgue 的工作。本課程旨在提供足夠的基本知識，使同學修完一年的課程之後，有能力學習更專業的分析課程（如：調和分析、泛函分析、小波理論、函數論、微分方程、機率論…等），或將實變函數論應用到其他學科上。

我們知道黎曼積分的建立是對一定義在「區間」上的「有界」函數，先對區間做分割，求取上下和再逼近而得的。而Lebesgue積分其建立方式則是對值域做分割、求和再逼近，所以不須限定函數是有界且積分區域也不限定在區間上，甚至可積分的函數遠比黎曼可積函數要多很多。也由於是對值域做分割，我們必須去測量函數對每一個分割的反映射（inverse image）之集合的大小，於是需要有一個測度來度量定義域中有多少元素落在先前的分割範圍內。事實上測度即為區間「長度」之概念延伸而成。積分理論的另一些重點就是積分與微分的關係及積分與極限是否可對調等等，Lebesgue積分皆有著比黎曼積分更廣泛及完善的結果。